Multimedia Educations

PENERAPAN DERET ARITMATIKA

DALAM KEHIDUPAN SEHARI – HARI

“MENENTUKAN JUMLAH UMUR & UANG SAKU”

Penerapan ilmu matematika dalam kehidupan sehari – hari sangatlah membantu. Apalagi dapat menyelesaikan suatu permasalahan dengan tepat. Contohnya penerapan deret Aritmatika dalam menentukan jumlah umur dan uang saku.

1.   Pengertian Barisan.

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu.Bentuk umum barisan bilangan a₁, a₂, a₃, ...,a_n.

Setiap unsur pada barisan bilanan disebut suku. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol U_n ( n merupakan bilangan asli ). Untuk suku pertama dinyatakan dengan simbol a atau U₁.

Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

1.  Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya.

2.  Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya.

2.   Barisan Aritmetika.

Barisan atitmetika adalah suatu barisan bilangan dimana setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang tetap yang disebut beda ( b ). Secara umum jika suku ke-n suatu barisan arimetika adalah U_n, maka berlaku :

b = U_n – U_{n – 1}         

Jika suku pertama dari barisan aritmetika ( U1 ) dinotasikan dengan a dan beda dinotasikan dengan b, maka suku-suku pada barisan aritmetika tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

U₁ = a

U₂ = a + b

U₃ = ( a + b ) + b = a + 2b

U₄ = ( a + 2b ) + b = a + 3b

....

U_n = a + ( n – 1 ) b             Merupakan rumus suku ke-n barisan aritmetika

Keterangan : U_n = Suku ke-n, a = Suku pertama, b = Beda

3.   Deret Aritmetika.

Deret aritmetika adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku dari barisan aritmetika. Jika a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n – 1 ) b merupakan deret aritmetika baku. Jumlah n suku deret aritmetika dinotasikan dengan S_n, Sehingga :

S_n = a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n – 1 ) b

     =

Rumus jumlah suku ke-n pada deret aritmetika dapat dicari dengan cara sebagai berikut :

S_n    = a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n – 1 ) b

S_n    = ( a + ( n – 1 ) b + ( a + ( n – 2 ) b + ... + a

 2 S_n = ( 2a + ( n – 1 ) b + ................. + ( 2a + ( n – 1 ) b             Sebanyak n suku

Sehingga  :

2 S_n = n ( 2a + ( n – 1 ) b

   S_n = ½ n ( 2a + ( n – 1 ) b            Merupakan rumus deret aritmetika

Keterangan : S_n = Jumlah suku ke-n , n = banyak suku

Contoh :

Di suatu counter pulsa, dijual berbagai macam kartu perdana dan voucher pulsa dengan harga beragam. Jika Heru membeli sebuah kartu perdana maka dikenakan harga Rp12.000,00, jika Heru membeli dua kartu perdana maka dikenakan harga Rp20.000,00. Jika Heru membeli tiga kartu perdana, dikenakan harga Rp28.000,00. Begitu seterusnya, setiap penambahan pembelian satu kartu perdana, harga pembelian bertambah Rp8.000,00. Apabila harga pembelian kartu perdana tersebut disusun dalam suatu bilangan maka terbentuk barisan berikut (dalam ribuan), yaitu 12, 20, 28, 36, 44, dan seterusnya. Dari contoh tersebut, Anda lihat bahwa setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang tetap. Barisan yang memiliki beda yang tetap dinamakan barisan aritmetika.

Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 3.000 unit barang. Pada tahun-tahun berikutnya, usahanya meningkat sehingga produksinya naik secara tetap sebesar 100 unit per tahun. Pada tahun ke berapakah perusahaan tersebut memproduksi 5.600 unit barang?

Jawab:

Dengan cara memodelkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa matematika, diperoleh suku pertama 3.000 dan bedanya 100, serta Un = 5600. Dengan demikian, yang dicari adalah n. Gunakan rumus suku ke–n, yaitu

Un = a + (n – 1) b

5600 = 3000 + (n – 1) 100

5600 = 3000 + 100 n – 100

5600 = 2900 + 100 n

100 n = 5600 – 2900

100 n = 2700

       n = 2700/100

       n = 27

Jadi, perusahaan tersebut memproduksi 5600 unit barang pada tahun ke 27.

Suatu keluarga memiliki 5 orang anak. Saat ini, usia kelima anak tersebut membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 12 tahun dan usia anak ke-5 adalah 7 tahun, tentukan jumlah usia kelima anak tersebut.

Jawab:

Dengan memodelkan permasalahan tersebut, diperoleh

n = 5

U3 = 12 = a + 2b ...(1)

U5 = 7 = a + 4b ...(2)

    5 = –2b

     b = –2,5

Dengan menyubstitusikan b = –2,5 ke persamaan (1), diperoleh

a + 2b = 12

a + 2(–2,5) = 12

a – 5 = 12

a = 12 + 5 = 17

Dengan demikian,

S5 =

     =

     =

     = 60

Jadi, jumlah usia kelima anak tersebut adalah 60 tahun.

Ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 5 orang anaknya. Semakin muda usia  anak maka semakin kecil jumlah uang yang diterima anak. Jika selisih uang yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan anak sulung menerima uang paling banyak maka tentukan jumlah uang yang diterima anak ke–4.

Jawab:

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah

S5 = 100.000

b = 5.000

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Sn =

S5 =

100.000 =

200.000 = 5(2a + 20.000) kedua ruas dikalikan 2

200.000 = 10a + 100.000

10a = 100.000

a = 10.000

Jumlah uang yang diterima anak ke–4

U4 = a + (4 – 1)b

U4 = 10.000 + 3(5.000)

      = 25.000

Jadi, jumlah uang yang diterima anak ke-4 adalah Rp25.000,00